Krzywa przejściowa

W przypadku projektowania łuków z krzywą przejściową (klotoidą) należy wykonać odpowiednie obliczenia, pierwszym etapem jest wyznaczenie parametru A. Aby dobrać parametr A, należy przejść przez kolejne proste obliczenia (warunki).

W tym momencie można przejść do obliczeń parametru A oraz pozostałych parametrów łuku:

Dane wyjściowe z tematu projektu	Dane odczytane z rysunku	Dane odczytane z rozporządzenia
Prędkość do projektowania Klasa techniczna drogi	Kąt zwrotu do 4 miejsc po przecinku	Pochylenie poprzeczne na prostej (domyślnie i0=2%) Szerokość pasa ruchu Pochylenie poprzeczne na łuku ip Promień łuku R Przyrost przyspieszenia dośrodkowego k Największe dopuszczalne dodatkowe pochylenie krawędzi jezdni Δi

W pierwszym etapie obliczymy parametr A z kolejnych warunków

Poniższy przykład opiera się na założeniach projektowych:

Klasa techniczna drogi: Z

Prędkość do projektowania: Vdp=50 km/h

Kąt zwrotu trasy: α=30,01232°, co w radianach=0,52381

Warunek 1

$A_{min}={\sqrt {V_{dp}^{3} \over 3,6^{3}k}}$

Prędkość do projektowania (km/h)	120-100	80	70	60	50	40
Przyrost przyspieszenia dośrodkowego (m/s3)	0,3	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9

W naszym przypadku k=0,8

$A_{min}={\sqrt {50^{3} \over (3,6^{3}\cdot 0,8)}}=57,9$

Warunek 2

$A_{max}=R{\sqrt {\alpha \,\!}}$

Na podstawie tabeli poniżej przy wstępnie dobranym promieniu łuku o wartości 220 m ustalono, że pochylenie poprzeczne na łuku wynosi ip=3%. Ostatecznie dobrano wartość promienia łuku R=250 m, utrzymując pochylenie poprzeczne o wartości 3%.

vdp [km/h]	pochylenie poprzeczne ip [%]
	2	2,5	3	4	5
140	3400	2600	2200	1600	1250
130	2900	2200	1850	1350	1050
120	2400	1850	1550	1150	900
110	1950	1550	1250	925	725
100	1600	1250	1000	750	600
90	1250	975	800	600	470
80	975	750	625	450	360
70	725	550	460	340	270
60	500	400	330	240	190
50	340	270	220	160	130
40	210	160	130	100	80
30	110	85	70	50	40

$A_{max}=250{\sqrt {0,52381}}=180,9$

Uwaga wartość kąta wstawiamy w Radianach

Warunek 3

$A_{min}={1 \over {3}}R$

oraz

$A_{max}=R$

$A_{min}={1 \over {3}}\cdot {250}=86,3$

oraz

$A_{max}=250$

Warunek 4

$A_{min}=1,86R^{3 \over {4}}$ $A_{min}=1,86\cdot 250^{3 \over {4}}=116,9$

$A_{max}=2,78R^{3 \over {4}}$ $A_{min}=2,78\cdot 250^{3 \over {4}}=174,8$

Warunek 5

$A_{min}=1,86{\sqrt[{4}]{R^{3}p_{c}}}$

Warunek ten zależy od poszerzenia jezdni na łuku

poszerzenie p wynosi:

p=60/R dla pojazdu miarodajnego - pojazd ciężarowy z przyczepą

$p={60 \over {250}}=0,24$

Tak obliczone poszerzenie należy zaokrąglić do 5 cm zatem w naszym przypadku p=0,25 m. W przypadku jeżeli poszerzenie po zaokrągleniu wynosi mniej niż 0,2 wtedy p=0

Poszerzenie p_c (poszerzenie całkowite) równe jest:

$p_{c}=2p$ w naszym przypadku $p_{c}=2\cdot 0,25=0,50\ m$

zatem:

$A_{min}=1,86{\sqrt[{4}]{250^{3}\cdot 0,5}}=98$

Warunek 6

$A_{min}={\sqrt {{R \over \Delta i}{B \over 2}(i_{o}+i_{p})}}$

B- szerokość jezdni, szerokość pasa ruchu wynosi 3 m, zatem szerokość jezdni wynosi B=6,0 m. Δi znajdziemy w tabeli poniżej

i₀ to pochylenie poprzeczne na prostej =2% natomiast i_p to pochylenie poprzeczne na łuku zgodnie z ustaleniami w warunku 2 wynosi 3%

Szerokość pasa ruchu w zależności od klasy drogi zestawiono poniżej, proponuje przyjmować rozwiązania "standardowe"

Szerokość pasa ruchu w zależności od klasy drogi:
- standardowo 3,00 m, dopuszcza się 3,25 lub 3,50 m, w trudnych warunkach 2,75 m – w przypadku klasy Z; - standardowo 2,75 m, dopuszcza się 3,00, 3,25 lub 3,50 m, w trudnych warunkach 2,50 m – w przypadku klasy L; - standardowo 2,50 m, dopuszcza się 2,75, 3,00, 3,25 lub 3,50 m, w trudnych warunkach 2,25 m – w przypadku klasy D

Prędkość do projektowania (km/h)	Najmniejsze dopuszczalne dodatkowe pochylenie krawędzi jezdni (%)
120-100	0,90
80	1,0
70-60	1,6
≤50	2,0

$A_{min}={\sqrt {{250 \over 2}{6 \over 2}(2+3)}}=43,3$

W tym momencie mamy obliczone warunki dotyczące dróg niższych klas. W dalszej części należy zebrać wyniki maksymalne i minimalne:

Warunki minimalne	Warunki maksymalne
43,3 98 116,9 83,3 57,9	174,8 250 180,9

Z warunków minimalnych wybieramy wartość największą (116,9) natomiast z warunków maksymalnych wartość najmniejszą (174,8). W ten sposób dostajemy przedział, w którym nasz parametr musi się zmieścić, jeżeli otrzymaliśmy zbiór pusty to musimy zmienić założenia np. promień łuku lub kąt zwrotu.

W naszym przypadku parametr A zawiera się w przedziale. Wstępnie wybieramy wartość 120

Obliczenia łuku

W dalszym etapie obliczamy wszystkie interesujące nas długości i kąty: L, X, Y, τ, X_S, H, T, T₀, β, K, Ł

Wielkość L (długość krzywej przejściowej)

$L={\frac {A^{2}}{R}}$

$L={\frac {120^{2}}{R}}=57,60m$

Wartość L jest długością krzywej przejściowej zatem dobrze jest aby miała wartość całkowitą, w naszym przypadku niech będzie to 60 m. Dlatego teraz musimy ponownie obliczyć parametr A przekształcając pierwszy wzór:

$A={\sqrt {LR}}$

$A={\sqrt {60\cdot 250}}=122,47$

W tym miejscu należy sprawdzić czy nowo wyznaczony parametr A mieści się w przedziale dopuszczalnym, jeśli się mieści możemy przejść do dalszych obliczeń

Wielkość X

$X=L-{\frac {L^{5}}{40A^{4}}}+{\frac {L^{9}}{3456A^{8}}}$

$X=L-{\frac {60,00^{5}}{40\cdot 122,47^{4}}}+{\frac {60,00^{9}}{3456\cdot 122,47^{8}}}=59,91\ m$

Wielkość Y

$Y={\frac {L^{3}}{6A^{2}}}-{\frac {L^{7}}{366A^{6}}}+{\frac {L^{11}}{42240A^{10}}}$

$Y={\frac {60,00^{3}}{6\cdot 122,47^{2}}}-{\frac {60,00^{7}}{366\cdot 122,47^{6}}}+{\frac {60,00^{11}}{42240\cdot 122,47^{10}}}=2,40\ m$

Kąt τ

$\tau ={\frac {L}{2R}}$

$\tau ={\frac {60}{2\cdot {250}}}=0,12000$

Uwaga: powyższy kąt jest w radianach, kąty podajemy do 5 miejsc po przecinku

Wielkość Xs

$X_{S}=X-R\sin \tau$

UWAGA: Przy funkcja trygonometrycznych, to czy należy wpisywać radiany czy stopnie to zależy od tego jak program (excel) lub kalkulator przyjmuje wyniki, np. Excel domyślnie przyjmuje radiany. W kalkulatorze naukowym poznamy do po literce na wyświetlaczu D - stopnie; R - rady; G - grady

$X_{S}=59,91-250\sin 0,12000=29,98\ m$

Wielkość H

$H={\frac {L^{2}}{24R}}$

$H={\frac {60^{2}}{24\cdot 250}}=0,60\ m$

Wielkość T

$T=(R+H)\tan({\frac {\alpha }{2}})$

$T=(250+0,60)\tan({\frac {30,01232^{\circ }}{2}})=67,18\ m$

Wielkość T₀

$T_{0}=T+X_{s}$

$T_{0}=67,18+29,98=97,16\ m$

Kąt β

$\beta =\alpha -2\tau$

$\beta =0,52381-2\cdot 0,12000=0,28377$

Wielkość K

$K=\beta R$

$K=0,28377\cdot 250=70,95\ m$

Wielkość Ł

Ł=K+2L

Ł=70,95+2*60=190,95 m

Następnie należy narysować łuk z krzywą przejściową, przykład znajdziecie pod LINKIEM